公因数和最大公因数
教学内容：
五年级下册第41～42页的例9、例10、“练一练”、练习七的第1题。
教学目标：
1．使学生通过操作、交流、探索等活动直观地认识公因数和最大公因数的含义，能用列举的方法来找一组数的公因数和最大公因数。
2．在构建公因数概念的过程中培养学生观察、比较、分析和归纳的能力，体会数学思想，发展学生的数感。
3．借助情境让学生在学习过程中培养主动与他人交流合作的意识，体会数学与生活的联系，感受数学文化，增强对数学学习的兴趣和信心。
教学重点：
通过数学活动主动构建公因数和最大公因数的概念，掌握求公因数和最大公因数的基本方法。
教学难点：
结合找公因数和最大公因数的思考过程，感悟如何用维恩图进行直观表示，进一步体会因数、公因数和最大公因数之间的内在联系。
教学过程：
一、情境引入，提出问题
师：玩过拼图吗？我这有一幅图，它的长是18厘米，宽是12厘米，想设计一个拼图。
教师：每块小拼图大小应该选哪个？ 为什么？
（1）18÷6=3 18÷4=4……2
12÷6=2 12÷4=3
（2）6是12 的因数，也是18的因数。4是12的因数，但不是18的因数。
（3）12是6的倍数，18也是6的倍数，12虽然是4的倍数，但18不是4的倍数。
师：（说因数或者倍数的）6是12的因数，6也是18的因数，其实就是12除以6可以整除，18也是。（PPT算式）2和3分别表示什么意思？
师：（PPT算式）虽然12除以4等于3，但是是18除以4怎么样了？这么看来，6即是18的因数，又是12 的因数，所以要想做成拼图，必须
二、合作探究、建构概念
1．提出猜想。
师：这有两种规格的，你们觉得哪种能能做成我的拼图，为什么？
师：和你的同桌讨论讨论。 谁来说说看？
师：下面就请你们用手中的正方形铺一铺验证看看是不是如我们所猜想的？
师：谁来说说你铺的结果。生说完PPT图，是像这样的吗？
教师：同样是铺，方法也有不同，（展示学生的铺法）请说说看你是怎么想的？
引导学生发现: 只要既沿着长能正好铺满，沿着宽也能正好铺满，就一定能正好铺满整个长方形。
师：为什么边长是6厘米的正方形能正好铺满了这个长方形？边长4厘米的却不能？
根据学生回答，出示算式。
教师：从全铺到只铺一部分再到列式计算，我们的研究越来越深入，想想看正方形的边长和长方形的长、宽有怎样的关系就能正好铺满？
在学生充分交流的基础上归纳出: 正方形边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数。
小结：“既是……又是……”这一组关联词说明了要正好铺满的话，正方形边长的厘米数要同时满足这两个条件。
出示边长2厘米的长方形，这个正方形可以把长方形正好铺满吗？你是怎么想的？
师： 2既是12的因数，又是18的因数，所以能正好铺满。
师：想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形也能铺满这个长方形？为什么？
师：正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺吗？直接从因数的角度来解释，多么简洁啊。
3．揭示概念。
教师：同学们，回顾一下刚才的发现。1、2、3、6这几个数具有相同的特征，它们既是12的因数，又是18的因数，在数学上我们就说“它们是12和18的公因数。”
教师反例强化：那么5是12和18的公因数吗？为什么？4呢？
教师引导学生观察：我们找到了四种符合要求的正方形，还有其他的符合要求的正方形吗？回到我们刚才的问题，如果要制作最难的关卡，选择哪种边长的正方形，你是什么理由？那如果要制作最容易的关卡呢？
小结：像这样的问题我们可以用铺正方形的方法来验证，也可以用公因数的知识来解释，数与形的结合让我们对问题的认识更深刻。
4．寻找方法。
教师：我们知道了两个数共有的因数叫作他们的公因数，那你们会找两个数的公因数吗？试一试，找一种8和12的公因数，在本子上写写。
写好的把你的方法和同桌说一说。
师：你来说说你是怎么找的？
（把两个数的因数全部写出来的）
师：我们可以把两个数的所有因数有序的全部写出来，然后在其中找出公因数。（PPT）
师：还有不同的吗？
（生只写出一个数的因数）
师：我们还可像这样，先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数。就是他们的公因数。（PPT）
师：由此我们还可以想到，也可以先找出12的因数，再从12的因数中找8的因数，也能找到他们的公因数。
师：这些都是用列举的方法找出8和12 的公因数，不管用哪种方法进行列举，都要注意既有序又全面。
教： 8和12公因数有1、2和4，除了这三个还能找到其他的公因数吗？所以4就是8和12的最大公因数。
在学生独立完成基础上引导学生思考：你是怎么发现18和30的公因数的？
归纳：数上既画有三角又画有圆圈就说明它们既是18的因数又是30的因数。
启发学生进一步思考：如果用字母A和B表示两个非零自然数，那怎样的数才是它们的公因数？
教师：我们刚才通过画一画来找两个数的公因数，这实际是种列举的方法，如果让你直接进行列举，能把8和12的公因数一个都不漏的找出来吗？
5．直观表征。
教师：像刚才那样，你能选择一种方法找到15和20的公因数和最大公因数吗？
教师展示学生作业后引导学生思考：怎么用图来表示15和20的公因数呢？
学生思考操作，教师巡视指导。
在学生操作的基础上，教师借助课件演示：重叠部分既是左边一个圈的一部分，又是右边一个圈的一部分，是两个圈的公共部分。所以把1和5填在重叠部分，就直观地说明它们既是15的因数又是20的因数，也就是15和20 的因数。
在此基础上，通过课件引导学生进一步思考：填在另外两个区域的数分别有什么特点？
引导学生发现：3和15是15的因数，但不是20的因数；2、4、10和20是20的因数，但不是15的因数。
小结：其实同学们想到的方法和数学家的想法是一致的。
三、巩固概念，熟练方法
四、本课总结
教师：通过今天这节课的学习你有什么收获呢?
板书设计：
公因数和最大公因数
猜想 验证 归纳
1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数。
它们是12和18的公因数。
8和12的公因数有1、2、4。
4就是8和12的最大公因数。
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